初中数学#

人教版初一上#

1.1 正数与负数#

💡 知识点

大于0的数叫作正数，在正数前加上符号“-”的数叫作负数，其中“-”是负号，读作“负”。

（注：在任何数前面加“-”的都可以视为是这个数的相反数）

💡 知识点

有时也会在正数的前面也加上符号“+”(读作“正”)

例如，+1 800，+3，+0.5 … 就是1 800, 3 , 0.5 … 一个数前面的“+”“-”号叫作这个数的符号。

💡 知识点

数0既不是正数，也不是负数。

💡 知识点

正数和负数可以用来表示具有相反意义的量。

例如：如果规定向东走为正，那么向西走200米记为-200米。

💡 知识点

正数的正号可以省略，负数的负号不能省略。

1.2 有理数#

💡 知识点

正整数、0和负整数统称整数。

正分数和负分数统称分数。

整数和分数统称 有理数。

💡 知识点

有限小数和无限循环小数都可以化成分数，都是有理数。

无限不循环小数不能化成分数，不是有理数（例如：π、√2等）。

💡 知识点

有理数的分类：

按定义分类：

整数：正整数、0、负整数

分数：正分数、负分数

按性质符号分类：

正有理数：正整数、正分数

0

负有理数：负整数、负分数

💡 知识点

非负数：正数和0的统称，即≥0的数。

非正数：负数和0的统称，即≤0的数。

1.3 有理数的加减法#

1.3.1 有理数的加法#

💡 知识点

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

例如：3 + 5 = 8

例如：(-3) + (-5) = -8

💡 知识点

异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

例如：(-3) + 5 = 2

例如：3 + (-5) = -2

💡 知识点

互为相反数的两个数相加得0。

例如：3 + (-3) = 0

💡 知识点

一个数与0相加，仍得这个数。

例如：3 + 0 = 3

💡 知识点

有理数的加法交换律：a + b = b + a

有理数的加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)

💡 知识点

多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加。

例如：1 + 2 + 3 + 4 = (1 + 4) + (2 + 3) = 10

1.3.2 有理数的减法#

💡 知识点

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

即：a - b = a + (-b)

例如：3 - 5 = 3 + (-5) = -2

例如：(-3) - 5 = (-3) + (-5) = -8

💡 知识点

0减去任何数，等于这个数的相反数。

例如：0 - 5 = 0 + (-5) = -5

💡 知识点

有理数减法的运算步骤：

将减法转化为加法：a - b = a + (-b)

按加法法则计算

💡 知识点

可以省略正号：

例如：3 - (+5) = 3 - 5 = -2

例如：3 - (-5) = 3 + 5 = 8

1.4 有理数的乘除法#

1.4.1 有理数的乘法#

💡 知识点

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

例如：3 × 5 = 15

例如：(-3) × (-5) = 15

例如：(-3) × 5 = -15

💡 知识点

任何数与0相乘，都得0。

例如：3 × 0 = 0

💡 知识点

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。

例如：(-1) × (-2) × (-3) = -6

💡 知识点

有理数的乘法交换律：a × b = b × a

有理数的乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)

有理数的乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c

💡 知识点

互为倒数的两个数相乘得1。

例如：3 × (1/3) = 1

例如：(-3) × (-1/3) = 1

💡 知识点

乘积是1的两个数互为倒数。

0没有倒数。

1.4.2 有理数的除法#

💡 知识点

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

即：a ÷ b = a × (1/b) (b≠0)

例如：12 ÷ 3 = 12 × (1/3) = 4

💡 知识点

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

例如：12 ÷ (-3) = -4

例如：(-12) ÷ (-3) = 4

💡 知识点

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

例如：0 ÷ 3 = 0

💡 知识点

有理数除法的运算步骤：

将除法转化为乘法：a ÷ b = a × (1/b)

按乘法法则计算

💡 知识点

可以省略括号：

例如：3 ÷ (1/3) = 3 × 3 = 9

例如：3 ÷ (-1/3) = 3 × (-3) = -9

1.5 有理数的乘方#

1.5.1 乘方的意义#

💡 知识点

求n个相同因数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂。

在aⁿ中，a叫作底数，n叫作指数。

例如：2³中，底数是2，指数是3，读作“2的3次方”或“2的3次幂”

💡 知识点

一个数可以看作这个数本身的1次方，例如：5 = 5¹

💡 知识点

正数的任何次幂都是正数。

例如：2³ = 8

💡 知识点

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

例如：(-2)³ = -8

例如：(-2)⁴ = 16

💡 知识点

0的任何正整数次幂都是0。

例如：0⁵ = 0

💡 知识点

1的任何次幂都是1。

例如：1¹⁰⁰ = 1

1.5.2 有理数的混合运算#

💡 知识点

先算乘方，再算乘除，最后算加减。

同级运算，从左到右进行。

如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

💡 知识点

运算顺序口诀：

先乘方，后乘除，最后加减

同级运算，从左到右

有括号，先算括号内的

💡 知识点

可以使用运算律简化运算：

加法交换律、结合律

乘法交换律、结合律、分配律

1.5.3 科学计数法#

💡 知识点

把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a<10，n是正整数），使用的是 科学计数法。

例如：1200 = 1.2 × 10³

💡 知识点

用科学计数法表示一个数，10的指数n等于这个数的整数位数减1。

例如：1200有4位整数，所以n=4-1=3

💡 知识点

科学计数法的还原：

a×10ⁿ中，n是正整数，将a的小数点向右移动n位即可。

例如：1.2×10³ = 1200

💡 知识点

负数的科学计数法：

-1200 = -1.2×10³

-120000 = -1.2×10⁵

1.5.4 近似数#

💡 知识点

与实际数很接近的数，叫作 近似数。

准确数：与实际完全符合的数。

近似数：与实际接近的数。

💡 知识点

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

例如：1.60精确到百分位（即0.01）

💡 知识点

有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

例如：1.60有3个有效数字：1、6、0

例如：0.016有2个有效数字：1、6

例如：160有3个有效数字：1、6、0

💡 知识点

用科学计数法表示的数，有效数字只看a的有效数字。

例如：1.2×10³有2个有效数字：1、2

💡 知识点

取近似数的方法：四舍五入法、进一法、去尾法。

人教版初一下#

5.1 相交线#

5.1.1 相交线#

💡 知识点

有一个公共点的两条直线叫作 相交线，这个公共点叫作交点。

💡 知识点

当两条直线相交成直角时，这两条直线 互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。

💡 知识点

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

💡 知识点

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简单说成：垂线段最短。

💡 知识点

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作 点到直线的距离。

5.1.2 同位角、内错角、同旁内角#

💡 知识点

同位角：在截线的同旁，在被截两直线的同一侧的角。

内错角：在截线的两旁，在被截两直线之间的角。

同旁内角：在截线的同旁，在被截两直线之间的角。

💡 知识点

同位角的位置特征：在截线的同旁，在被截两直线的同一侧。

内错角的位置特征：在截线的两旁，在被截两直线之间。

同旁内角的位置特征：在截线的同旁，在被截两直线之间。

💡 知识点

同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的。

5.2 平行线及其判定#

5.2.1 平行线#

💡 知识点

在同一平面内，不相交的两条直线叫作 平行线，记作：a∥b。

💡 知识点

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

💡 知识点

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

即：如果a∥c，b∥c，那么a∥b

💡 知识点

在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。

5.2.2 平行线的判定#

💡 知识点

同位角相等，两直线平行。

符号语言：∵ ∠1 = ∠2 ∴ a∥b

💡 知识点

内错角相等，两直线平行。

符号语言：∵ ∠2 = ∠3 ∴ a∥b

💡 知识点

同旁内角互补，两直线平行。

符号语言：∵ ∠2 + ∠4 = 180° ∴ a∥b

💡 知识点

在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

符号语言：∵ a⊥c，b⊥c ∴ a∥b

💡 知识点

平行线的判定方法：

同位角相等，两直线平行

内错角相等，两直线平行

同旁内角互补，两直线平行

平行于同一直线的两条直线互相平行

垂直于同一直线的两条直线互相平行

5.3 平行线的性质#

5.3.1 平行线的性质#

💡 知识点

两直线平行，同位角相等。

符号语言：∵ a∥b ∴ ∠1 = ∠2

💡 知识点

两直线平行，内错角相等。

符号语言：∵ a∥b ∴ ∠2 = ∠3

💡 知识点

两直线平行，同旁内角互补。

符号语言：∵ a∥b ∴ ∠2 + ∠4 = 180°

💡 知识点

平行线的性质是由直线平行推出角相等或互补。

平行线的判定是由角相等或互补推出直线平行。

💡 知识点

平行线的性质和判定是互逆的关系。

5.3.2 命题、定理、证明#

💡 知识点

判断一件事情的语句，叫作命题。

命题由题设和结论两部分组成。

💡 知识点

命题的形式：“如果……，那么……”

题设（条件）：“如果”后面的部分

结论：“那么”后面的部分

💡 知识点

真命题：题设成立，结论一定成立。

假命题：题设成立，结论不一定成立。

💡 知识点

定理：经过推理证实的真命题。

证明：推理的过程。

💡 知识点

反例：要判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。

5.4 平移#

💡 知识点

把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。

💡 知识点

新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

💡 知识点

平移的性质：

平移不改变图形的形状和大小。

平移后的图形与原图形中对应点的连线平行（或在同一直线上）且相等。

💡 知识点

平移的三要素：

原图形的位置

平移的方向

平移的距离

💡 知识点

平移的作图步骤：

确定平移的方向和距离。

确定图形中的关键点。

过这些关键点作与平移方向平行的线段，使这些线段的长度等于平移的距离。

按照原图形的顺序连接这些对应点。

6.1 平方根#

💡 知识点

如果一个数的平方等于a，那么这个数是a的平方根或二次方根。

即：如果x² = a，那么x是a的平方根，记作x = ±√a

💡 知识点

正数有两个平方根，它们互为相反数。

例如：4的平方根是±2，即±√4 = ±2

💡 知识点

0的平方根是0。

即：√0 = 0

💡 知识点

负数没有平方根。

💡 知识点

一个正数a的正的平方根，叫作a的算术平方根，记作√a。

0的算术平方根是0。

💡 知识点

√a具有双重非负性：

a ≥ 0

√a ≥ 0

💡 知识点

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方。

平方和开平方互为逆运算。

💡 知识点

平方根的性质：

(√a)² = a (a ≥ 0)

√(a²) = |a| = { a (a ≥ 0), -a (a < 0) }

💡 知识点

算术平方根的性质：

√(ab) = √a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)

√(a/b) = √a / √b (a ≥ 0, b > 0)

6.2 立方根#

💡 知识点

如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根或三次方根。

即：如果x³ = a，那么x是a的立方根，记作x = ∛a

💡 知识点

正数的立方根是正数。

例如：8的立方根是2，即∛8 = 2

💡 知识点

负数的立方根是负数。

例如：-8的立方根是-2，即∛(-8) = -2

💡 知识点

0的立方根是0。

即：∛0 = 0

💡 知识点

开立方：求一个数a的立方根的运算，叫作开立方。

立方和开立方互为逆运算。

💡 知识点

立方根的性质：

(∛a)³ = a

∛(a³) = a

💡 知识点

任何数都有唯一的立方根。

💡 知识点

立方根的性质：

∛(-a) = -∛a

∛(ab) = ∛a × ∛b

∛(a/b) = ∛a / ∛b (b≠0)

6.3 实数#

💡 知识点

有理数和无理数统称实数。

💡 知识点

无理数：无限不循环小数。

例如：π、√2、√3、-√5等

💡 知识点

实数的分类：

按定义分类：

有理数：整数、分数

无理数：无限不循环小数

按性质符号分类：

正实数：正有理数、正无理数

0

负实数：负有理数、负无理数

💡 知识点

实数与数轴上的点是一一对应的。

💡 知识点

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

即：|a| = { a (a > 0), 0 (a = 0), -a (a < 0) }

💡 知识点

实数的相反数：a的相反数是-a。

即：如果a是一个实数，那么-a是a的相反数。

💡 知识点

实数的倒数：乘积是1的两个实数互为倒数。

即：如果a×b = 1，那么a和b互为倒数。

💡 知识点

实数的运算：

有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立。

实数的运算顺序与有理数的运算顺序相同。

💡 知识点

实数的大小比较：

正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

两个负数，绝对值大的反而小。

数轴上右边的数大于左边的数。

人教版初二上#

11.1 与三角形有关的线段#

11.1.1 三角形的边#

💡 知识点

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作 三角形，记作：△ABC。

💡 知识点

三角形有3个顶点、3条边、3个角。

💡 知识点

三角形两边之和大于第三边。

即：在△ABC中，a + b > c，a + c > b，b + c > a

💡 知识点

三角形两边之差小于第三边。

即：在△ABC中，|a - b| < c < a + b

💡 知识点

三角形的分类：

按边分类：

不等边三角形

等腰三角形：底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形

按角分类：

锐角三角形

直角三角形

钝角三角形

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线#

💡 知识点

三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段。

三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

💡 知识点

三角形的三条高相交于一点，这个点叫作三角形的垂心。

💡 知识点

三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的重心，重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

💡 知识点

三角形的三个角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的内心。

💡 知识点

三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形。

11.1.3 三角形的稳定性#

💡 知识点

三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。

💡 知识点

三角形的稳定性在生活中有广泛的应用。

11.2 与三角形有关的角#

11.2.1 三角形的内角#

💡 知识点

三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。

即：在△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = 180°

💡 知识点

直角三角形的两个锐角互余。

即：在Rt△ABC中，∠A + ∠B = 90°

💡 知识点

有一个角是直角的三角形是直角三角形。

💡 知识点

有两个角互余的三角形是直角三角形。

11.2.2 三角形的外角#

💡 知识点

三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫作三角形的外角。

💡 知识点

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

即：∠ACD = ∠A + ∠B

💡 知识点

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

即：∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B

💡 知识点

三角形的外角和等于360°。

💡 知识点

三角形有6个外角，它们是成对出现的。

11.3 多边形及其内角和#

11.3.1 多边形#

💡 知识点

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作 多边形。

💡 知识点

多边形按边数分类：三角形、四边形、五边形、……、n边形。

💡 知识点

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的 对角线。

💡 知识点

n边形的对角线条数：n(n-3)/2

💡 知识点

正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形。

11.3.2 多边形的内角和#

💡 知识点

n边形的内角和公式：(n-2)×180° (n≥3)

例如：三角形的内角和：(3-2)×180° = 180°

例如：四边形的内角和：(4-2)×180° = 360°

💡 知识点

正n边形的每个内角：(n-2)×180°/n

💡 知识点

多边形的外角和等于360°。

即：任意多边形的外角和都是360°

💡 知识点

正n边形的每个外角：360°/n

💡 知识点

多边形内角和公式的推导：

从n边形的一个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，它们将n边形分成(n-2)个三角形。

每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是(n-2)×180°

12.1 全等三角形#

💡 知识点

能够完全重合的两个三角形叫作 全等三角形，记作：△ABC ≅ △A’B’C’

💡 知识点

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

即：∵ △ABC ≅ △A’B’C’ ∴ AB = A’B’，BC = B’C’，AC = A’C’，∠A = ∠A’，∠B = ∠B’，∠C = ∠C’

💡 知识点

全等三角形的对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）相等。

💡 知识点

全等三角形的面积相等。

💡 知识点

寻找对应边和对应角的方法：

全等三角形的对应顶点字母写在对应位置上。

对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。

公共边是对应边，公共角是对应角。

对顶角是对应角。

相等的角是对应角，相等的边是对应边。

12.2 三角形全等的判定#

12.2.1 SSS#

💡 知识点

三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。

符号语言：∵ AB = A’B’，BC = B’C’，AC = A’C’ ∴ △ABC ≅ △A’B’C’ (SSS)

12.2.2 SAS#

💡 知识点

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。

符号语言：∵ AB = A’B’，∠B = ∠B’，BC = B’C’ ∴ △ABC ≅ △A’B’C’ (SAS)

12.2.3 ASA#

💡 知识点

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。

符号语言：∵ ∠B = ∠B’，BC = B’C’，∠C = ∠C’ ∴ △ABC ≅ △A’B’C’ (ASA)

12.2.4 AAS#

💡 知识点

两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）。

符号语言：∵ ∠B = ∠B’，∠C = ∠C’，AC = A’C’ ∴ △ABC ≅ △A’B’C’ (AAS)

12.2.5 HL#

💡 知识点

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

符号语言：∵ AB = A’B’，AC = A’C’ ∴ Rt△ABC ≅ Rt△A’B’C’ (HL)

💡 知识点

全等三角形的判定方法总结：

SSS：三边分别相等

SAS：两边和夹角分别相等

ASA：两角和夹边分别相等

AAS：两角和一角的对边分别相等

HL：斜边和一条直角边分别相等（仅适用于直角三角形）

💡 知识点

全等三角形的判定思路：

已知两边：找夹角（SAS）、找第三边（SSS）

已知一边一角：找角（AAS、ASA）、找边（SAS、AAS）

已知两角：找边（ASA、AAS）

12.3 角的平分线的性质#

💡 知识点

角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：∵ OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB ∴ PE = PF

💡 知识点

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：∵ PE⊥OA，PF⊥OB，PE = PF ∴ OP平分∠AOB

💡 知识点

角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

💡 知识点

三角形的内心：三角形的三个角的平分线相交于一点，这个点叫作三角形的内心。

💡 知识点

三角形的内心到三角形的三边的距离相等。

💡 知识点

角的平分线的作法：

以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。

分别以点M、N为圆心，大于1/2 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P。

画射线OP，射线OP就是∠AOB的平分线。

13.1 轴对称#

13.1.1 轴对称#

💡 知识点

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作 对称轴。

💡 知识点

轴对称的性质：

关于某条直线对称的两个图形是全等形。

对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

13.1.2 线段的垂直平分线的性质#

💡 知识点

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的 垂直平分线。

💡 知识点

线段垂直平分线上的点与这条线段两个顶点的距离相等。

符号语言：∵ 直线l垂直平分线段AB，点P在l上 ∴ PA = PB

💡 知识点

与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

符号语言：∵ PA = PB ∴ 点P在线段AB的垂直平分线上

💡 知识点

线段的垂直平分线是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。

💡 知识点

三角形的外心：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这个点叫作三角形的外心。

💡 知识点

三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等。

13.1.3 轴对称变换#

💡 知识点

由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫作 轴对称变换。

💡 知识点

轴对称变换的性质：

轴对称变换不改变图形的形状和大小。

轴对称变换后的图形与原图形是全等形。

💡 知识点

轴对称变换的作图方法：

确定图形中的关键点。

作每个关键点关于对称轴的对称点。

按照原图形的顺序连接这些对称点。

13.1.4 用坐标表示轴对称#

💡 知识点

点(x, y)关于x轴对称的点的坐标是(x, -y)

点(x, y)关于y轴对称的点的坐标是(-x, y)

点(x, y)关于原点对称的点的坐标是(-x, -y)

💡 知识点

点(x, y)关于直线x = a对称的点的坐标是(2a - x, y)

点(x, y)关于直线y = a对称的点的坐标是(x, 2a - y)

13.2 画轴对称图形#

💡 知识点

画轴对称图形的步骤：

确定对称轴。

确定图形中的关键点。

作每个关键点关于对称轴的对称点。

按照原图形的顺序连接这些对称点。

💡 知识点

轴对称图形的性质：

对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

💡 知识点

找轴对称图形的对称轴的方法：

折叠法：如果一个图形沿着某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这条直线就是这个图形的对称轴。

观察法：观察图形的对称性，找出可能的对称轴。

13.3 等腰三角形#

13.3.1 等腰三角形#

💡 知识点

等腰三角形的性质：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。

💡 知识点

等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

💡 知识点

等腰三角形的性质的证明：

作顶角的平分线，利用SAS证明两个三角形全等。

作底边上的中线，利用SSS证明两个三角形全等。

作底边上的高，利用HL证明两个直角三角形全等。

13.3.2 等边三角形#

💡 知识点

等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。

💡 知识点

等边三角形的判定：

三边都相等的三角形是等边三角形。

三个角都相等的三角形是等边三角形。

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

💡 知识点

含30°角的直角三角形的性质：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

符号语言：∵ 在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30° ∴ BC = 1/2 AB

💡 知识点

含30°角的直角三角形的性质的逆定理：

在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。

符号语言：∵ 在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 1/2 AB ∴ ∠A = 30°

13.4 最短路径问题#

💡 知识点

最短路径问题的基本类型：

两点之间，线段最短。

点到直线的距离，垂线段最短。

将军饮马问题：作对称点，转化为两点之间线段最短。

💡 知识点

将军饮马问题的解法：

作点A关于直线l的对称点A’。

连接A’B，与直线l的交点即为所求的点P。

PA + PB的最小值就是A’B的长度。

💡 知识点

最短路径问题的应用：

选址问题

运输问题

管道铺设问题

14.1 整式的乘法#

14.1.1 同底数幂的乘法#

💡 知识点

同底数幂的乘法法则：aᵐ × aⁿ = a^(m+n) (m, n都是正整数)

即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

例如：2³ × 2⁴ = 2^(3+4) = 2⁷

💡 知识点

同底数幂的乘法法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘。

即：aᵐ × aⁿ × aᵖ = a^(m+n+p)

💡 知识点

同底数幂的乘法法则的逆用：a^(m+n) = aᵐ × aⁿ

14.1.2 幂的乘方#

💡 知识点

幂的乘方法则：(aᵐ)ⁿ = a^(m×n) (m, n都是正整数)

即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。

例如：(2³)⁴ = 2^(3×4) = 2¹²

💡 知识点

幂的乘方法则的逆用：a^(m×n) = (aᵐ)ⁿ = (aⁿ)ᵐ

14.1.3 积的乘方#

💡 知识点

积的乘方法则：(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ (n是正整数)

即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

例如：(2×3)⁴ = 2⁴ × 3⁴ = 16×81 = 1296

💡 知识点

积的乘方法则可以推广到三个或三个以上的因式的积的乘方。

即：(abc)ⁿ = aⁿ × bⁿ × cⁿ

💡 知识点

积的乘方法则的逆用：aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ

14.1.4 整式的乘法#

💡 知识点

单项式与单项式相乘：

把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

例如：(2x²y³)×(3x⁴y) = (2×3)×(x²×x⁴)×(y³×y) = 6x⁶y⁴

💡 知识点

单项式与多项式相乘：

用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：a×(b+c) = a×b + a×c

例如：2x×(3x²+4x+5) = 6x³+8x²+10x

💡 知识点

多项式与多项式相乘：

先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：(a+b)×(c+d) = a×c + a×d + b×c + b×d

例如：(x+2)×(x+3) = x²+3x+2x+6 = x²+5x+6

💡 知识点

整式乘法的运算律：

乘法交换律：a×b = b×a

乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)

乘法分配律：a×(b+c) = a×b + a×c

14.2 乘法公式#

14.2.1 平方差公式#

💡 知识点

平方差公式：(a+b)×(a-b) = a² - b²

即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。

例如：(x+2)×(x-2) = x² - 4

💡 知识点

平方差公式的结构特征：

两个二项式相乘。

有一项完全相同，另一项互为相反数。

结果是相同项的平方减去相反项的平方。

💡 知识点

平方差公式的逆用：a² - b² = (a+b)×(a-b)

14.2.2 完全平方公式#

💡 知识点

完全平方公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²

即：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。

例如：(x+2)² = x² + 4x + 4

💡 知识点

完全平方公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²

即：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。

例如：(x-2)² = x² - 4x + 4

💡 知识点

完全平方公式的结构特征：

两个数的和或差的平方。

结果是首平方，尾平方，首尾积的2倍在中央。

💡 知识点

完全平方公式的逆用：a² + 2ab + b² = (a+b)²

a² - 2ab + b² = (a-b)²

💡 知识点

完全平方公式的变形：

a² + b² = (a+b)² - 2ab

a² + b² = (a-b)² + 2ab

(a+b)² - (a-b)² = 4ab

💡 知识点

三项式的完全平方：(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

14.2.3 添括号法则#

💡 知识点

添括号法则：

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。

💡 知识点

添括号法则的应用：

在进行整式的运算时，有时需要添括号来简化运算。

14.3 因式分解#

14.3.1 因式分解的意义#

💡 知识点

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的变形叫作把这个多项式 因式分解，也叫作把这个多项式 分解因式。

💡 知识点

因式分解与整式乘法是互逆的变形过程。

整式乘法：(a+b)×(a-b) = a² - b²

因式分解：a² - b² = (a+b)×(a-b)

💡 知识点

因式分解的要求：

分解要彻底：直到不能再分解为止。

结果必须是整式的积的形式。

14.3.2 提公因式法#

💡 知识点

公因式：多项式中各项都含有的相同因式。

💡 知识点

提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫作 提公因式法。

💡 知识点

提公因式法的步骤：

确定公因式：系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。

用多项式除以公因式，所得的商作为另一个因式。

写成公因式与商的积的形式。

💡 知识点

公因式的确定：

系数：取各项系数的最大公约数。

字母：取各项都含有的相同字母。

指数：取相同字母的最低次幂。

💡 知识点

提公因式法的注意事项：

如果多项式的首项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的首项的系数为正。

当多项式的某一项与公因式相同时，提取公因式后，括号内的这一项为1，不能漏掉。

14.3.3 公式法#

💡 知识点

平方差公式：a² - b² = (a+b)×(a-b)

即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

💡 知识点

完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²

a² - 2ab + b² = (a-b)²

即：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和或差的平方。

💡 知识点

因式分解的步骤：

先看是否有公因式，如果有，先提取公因式。

再看是否能用公式法分解（平方差公式或完全平方公式）。

检查分解是否彻底，直到不能再分解为止。

💡 知识点

因式分解的方法总结：

提公因式法

公式法（平方差公式、完全平方公式）

💡 知识点

因式分解的应用：

简化计算

解一元二次方程

证明恒等式

15.1 从分数到分式#

💡 知识点

分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫作分式，其中A叫作分子，B叫作分母。

💡 知识点

分式有意义的条件：分母不为0。

即：B ≠ 0

💡 知识点

分式无意义的条件：分母为0。

即：B = 0

💡 知识点

分式的值为0的条件：分子为0，且分母不为0。

即：A = 0，且B ≠ 0

💡 知识点

分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

即：A/B = (A×C)/(B×C) (C ≠ 0)

A/B = (A÷C)/(B÷C) (C ≠ 0)

💡 知识点

约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形叫作分式的约分。

💡 知识点

最简分式：分子和分母没有公因式的分式。

💡 知识点

通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，这种变形叫作分式的通分。

💡 知识点

最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫作 最简公分母。

15.2 分式的运算#

15.2.1 分式的乘除#

💡 知识点

分式的乘法法则：A/B × C/D = (A×C)/(B×D)

即：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

💡 知识点

分式的除法法则：A/B ÷ C/D = A/B × D/C = (A×D)/(B×C)

即：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

💡 知识点

分式的乘方法则：(A/B)ⁿ = Aⁿ/Bⁿ (n是正整数)

即：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

💡 知识点

分式的运算顺序：

先算乘方，再算乘除。

同级运算，从左到右进行。

15.2.2 分式的加减#

💡 知识点

同分母分式的加减法法则：A/B + C/B = (A+C)/B

即：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

💡 知识点

异分母分式的加减法法则：A/B + C/D = (A×D)/(B×D) + (C×B)/(D×B) = (A×D + C×B)/(B×D)

即：异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

💡 知识点

分式的加减运算步骤：

通分：确定最简公分母。

按同分母分式的加减法法则计算。

约分：结果要化为最简分式或整式。

💡 知识点

分式的混合运算顺序：

先算乘方，再算乘除，最后算加减。

同级运算，从左到右进行。

如果有括号，先算括号内的。

15.2.3 整数指数幂#

💡 知识点

整数指数幂的性质：

aᵐ × aⁿ = a^(m+n) (a ≠ 0)

(aᵐ)ⁿ = a^(m×n) (a ≠ 0)

(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ (a ≠ 0, b ≠ 0)

aᵐ ÷ aⁿ = a^(m-n) (a ≠ 0)

(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ (a ≠ 0, b ≠ 0)

a⁰ = 1 (a ≠ 0)

a^(-n) = 1/aⁿ (a ≠ 0, n是正整数)

💡 知识点

科学计数法：

一个大于10的数可以表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a<10，n是正整数）。

一个小于1的正数可以表示成a×10^(-n)的形式（其中1≤a<10，n是正整数）。

💡 知识点

用科学计数法表示的数的运算：

(a×10ⁿ)×(b×10ᵐ) = (a×b)×10^(n+m)

(a×10ⁿ)÷(b×10ᵐ) = (a÷b)×10^(n-m)

15.3 分式方程#

💡 知识点

分式方程：分母中含有未知数的方程。

💡 知识点

解分式方程的步骤：

去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程。

解这个整式方程。

检验：把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么这个解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

💡 知识点

增根：在将分式方程化为整式方程的过程中，可能会产生不适合原分式方程的解，这种根叫作分式方程的增根。

💡 知识点

产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘了一个可能为0的整式（最简公分母）。

💡 知识点

分式方程的应用：

行程问题：速度×时间=路程

工程问题：工作效率×工作时间=工作总量

销售问题：单价×数量=总价

增长率问题：基数×(1+增长率)ⁿ = 最终数

💡 知识点

分式方程的应用步骤：

审：审清题意，找出等量关系。

设：设未知数。

列：根据等量关系列出分式方程。

解：解分式方程。

验：检验方程的解是否符合题意。

答：写出答案。

总结#

初中数学是高中数学的基础，涵盖了代数、几何、统计与概率等多个领域。通过系统学习和反复练习，掌握基础知识和基本技能，培养数学思维能力和解题能力，为进一步学习数学打下坚实的基础。

📝 学习建议

掌握基础知识：认真学习每个知识点，理解其含义和应用。

多做练习题：通过大量的练习巩固所学知识，提高解题能力。

总结解题方法：总结各种题型的解题方法和技巧，提高解题效率。

培养数学思维：注重培养逻辑思维能力、抽象思维能力和创新思维能力。

查漏补缺：定期复习，查漏补缺，及时解决学习中遇到的问题。

本文整理自人教版初中数学教材，希望对同学们的学习有所帮助。

站点公告

初中数学复习总结

初中数学#

人教版 初一上#

1.1 正数与负数#

1.2 有理数#

1.3 有理数的加减法#

1.3.1 有理数的加法#

1.3.2 有理数的减法#

1.4 有理数的乘除法#

1.4.1 有理数的乘法#

1.4.2 有理数的除法#

1.5 有理数的乘方#

1.5.1 乘方的意义#

1.5.2 有理数的混合运算#

1.5.3 科学计数法#

1.5.4 近似数#

人教版 初一下#

5.1 相交线#

5.1.1 相交线#

5.1.2 同位角、内错角、同旁内角#

5.2 平行线及其判定#

5.2.1 平行线#

5.2.2 平行线的判定#

5.3 平行线的性质#

5.3.1 平行线的性质#

5.3.2 命题、定理、证明#

5.4 平移#

6.1 平方根#

6.2 立方根#

6.3 实数#

人教版 初二上#

11.1 与三角形有关的线段#

11.1.1 三角形的边#

11.1.2 三角形的高、中线与角平分线#

11.1.3 三角形的稳定性#

11.2 与三角形有关的角#

11.2.1 三角形的内角#

11.2.2 三角形的外角#

11.3 多边形及其内角和#

11.3.1 多边形#

11.3.2 多边形的内角和#

12.1 全等三角形#

12.2 三角形全等的判定#

12.2.1 SSS#

12.2.2 SAS#

12.2.3 ASA#

12.2.4 AAS#

12.2.5 HL#

12.3 角的平分线的性质#

13.1 轴对称#

13.1.1 轴对称#

13.1.2 线段的垂直平分线的性质#

13.1.3 轴对称变换#

13.1.4 用坐标表示轴对称#

13.2 画轴对称图形#

13.3 等腰三角形#

13.3.1 等腰三角形#

13.3.2 等边三角形#

13.4 最短路径问题#

14.1 整式的乘法#

14.1.1 同底数幂的乘法#

14.1.2 幂的乘方#

14.1.3 积的乘方#

14.1.4 整式的乘法#

14.2 乘法公式#

14.2.1 平方差公式#

14.2.2 完全平方公式#

14.2.3 添括号法则#

14.3 因式分解#

14.3.1 因式分解的意义#

14.3.2 提公因式法#

14.3.3 公式法#

15.1 从分数到分式#

15.2 分式的运算#

15.2.1 分式的乘除#

15.2.2 分式的加减#

15.2.3 整数指数幂#

15.3 分式方程#

总结#

人教版初一上#

人教版初一下#

人教版初二上#